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\section{Trabalhos Relacionados}
As FHPs e FHPMs receberam muita aten\c{c}\~ao da comunidade 
cient\'{\i}fica nas d\'ecadas de 80 e 90. Em~\cite{chm97} \'e 
apresentado um survey completo da \'area at\'e 1997.
Nesta se\c{c}\~ao revisitamos os trabalhos cobertos pelo survey que
est\~ao diretamente relacionados aos algoritmos aqui propostos e
fazemos um survey dos algoritmos propostos desde ent\~ao.
 
Fredman, Koml\'os e Szemer\'edi~\cite{FKS84} mostraram que \'e poss\'{\i}vel construir
FHPs que podem ser descritas eficientemente em termos de espa\c{c}o e avaliadas em 
tempo constante utilizando tamanhos de tabelas que s\~ao lineares no n\'umero de chaves:
$m=O(n)$. 
No modelo de computa\c{c}\~ao deles, um elemento do universo~$U$ \'e colocado em uma 
palavra de m\'aquina, e opera\c{c}\~oes aritm\'eticas e acesso \`a mem\'oria tem custo 
$O(1)$.
Algoritmos rand\^omicos no modelo FKS podem construir FHPs com complexidade de tempo 
experada de $O(n)$: 
Este \'e o caso dos nossos algoritmos e dos trabalhos em~\cite{chm92,p99}.

Os trabalhos~\cite{asw00,swz00} apresentam algoritmos para construir
FHPs e FHPMs deterministicamente. 
As fun\c{c}\~oes geradas necessitam de $O(n \log(n) + \log(\log(u)))$ bits para serem descritas.
A complexidade de caso m\'edio dos algoritmos para gerar as fun\c{c}\~oes \'e 
$O(n\log(n) \log( \log (u)))$ e a de pior caso \'e $O(n^3\log(n) \log(\log(u)))$. 
A complexidade de avalia\c{c}\~ao das fun\c{c}\~oes \'e $O(\log(n) + \log(\log(u)))$.
Assim, os algoritmos n\~ao geram fun\c{c}\~oes que podem ser avaliadas com complexidade 
de tempo $O(1)$, est\~ao distantes a um fator de $\log n$ da complexidade \'otima para descrever 
FHPs e FHPMs (Mehlhorn mostra em~\cite{m84} 
que para armazenar uma FHP s\~ao necess\'arios no m\'{\i}nimo 
$\Omega(n^2/(2\ln 2) m + \log\log u)$ bits), e n\~ao geram as 
fun\c{c}\~oes com complexidade linear.
Al\'em disso, o universo $U$ das chaves \'e restrito a n\'umeros inteiros, o que pode 
limitar a utiliza\c{c}\~ao na pr\'atica. 

Pagh~\cite{p99} prop\^os uma fam\'{\i}lia de algoritmos rand\^omicos para construir
FHPMs.
A forma da fun\c{c}\~ao resultante \'e $h(k) = (f(k) + d_{g(k)}) \bmod n$, 
onde $f$ e $g$ s\~ao fun\c{c}\~oes hash universal \cite{ss89} e $d$ \'e um conjunto de 
valores de deslocamento para resolver as colis\~oes que s\~ao causadas pela fun\c{c}\~ao $f$.
Pagh identificou um conjunto de condi\c{c}\~oes referentes a $f$ e $g$, e mostrou 
que se tais condi\c{c}\~oes fossem satisfeitas, ent\~ao, uma FHPM pode ser computada
em tempo esperado $O(n)$ e armazenada em $(2+\epsilon)n$ palavras de computador 
(ou $O((2+\epsilon)n \log n)$ bits.)
Dietzfelbinger e Hagerup~\cite{dh01} melhoraram ~\cite{p99},
reduzindo de $(2+\epsilon)n$ para $(1+\epsilon)n$ (ou $O((1+\epsilon)n \log n)$ bits) 
o n\'umero de palavras de 
computador exigidas para armazenar a fun\c{c}\~ao, mas na abordagem deles $f$ e $g$
devem ser escolhidas de uma classe de fun\c{c}\~oes hash que atendam a requisitos
adicionais.

Galli, Seybold e Simon~\cite{gss01} propuseram um algoritmo r\^andomico
que gera FHPMs da mesma forma das geradas pelos algoritmos de Pagh~\cite{p99}
e, Dietzfelbinger e Hagerup~\cite{dh01}. No entanto, eles definiram a forma das 
fun\c{c}\~oes $f(k) = h_c(k) \bmod n$ e $g(k) = \lfloor h_c(k)/n \rfloor$ para obter em tempo esperado $O(n)$ uma fun\c{c}\~ao que pode ser descrita em $O(n\log n)$ bits, onde
$h_c(k) = (ck \bmod p) \bmod n^2$, $1 \leq c \leq  p-1$ e $p$ um primo maior do que $u$.

Os algoritmos propostos em~\cite{p99,dh01,gss01} n\~ao s\~ao escal\'aveis com o crescimento do
conjunto de chaves $S$. Isto \'e devido as restri\c{c}\~oes impostas sobre as fun\c{c}\~oes
hash universal utilizadas no c\'alculo das FHPMs. Normalmente \'e exigido um 
n\'umero primo maior do que o tamanho do universo $u$ que, em geral, \'e muito maior
do que $n=|S|$ ou opera\c{c}\~oes que envolvem $n^2$ aparecem no c\'alculo da FHPM.
Al\'em disso, todas as fun\c{c}\~oes est\~ao distantes a um fator de $\log n$ da complexidade 
\'otima para descrever FHPMs.
  
Diferentemente dos trabalhos em~\cite{p99,dh01,gss01}, nossos algoritmos usam  
fun\c{c}\~oes hash universal que s\~ao selecionadas randomicamente de uma classe 
de fun\c{c}\~oes que n\~ao necessitam atender restri\c{c}\~oes adicionais.
Al\'em disso, as FHPMs s\~ao geradas em tempo esperado $O(n)$, s\~ao avaliadas 
com custo $O(1)$ e s\~ao descritas em $O(n)$ bits que est\'a muito pr\'oximo da
complexidade \'otima. 
Pelo melhor do nosso conhecimento, os algoritmos propostos neste artigo s\~ao
os primeiros da literatura capazes de gerar FHPMs para conjuntos de chaves na
ordem de bilh\~oes de chaves utilizando um simples PC com 1GB de mem\'oria principal.