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fc_botelho 2005-10-02 23:56:51 +00:00
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vldb/pt/algorithms.tex
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@ -1,6 +1,6 @@
\section{Os Algoritmos} \section{Os Algoritmos}
\label{sec:thealgorithm} \label{sec:thealgorithm}
Nesta se\c{c}\~ao apresentamos Nesta se\c{c}\~ao apresentamos \cite{bkz05}
\subsection{Um Algoritmo Baseado em Mem\'oria Principal} \subsection{Um Algoritmo Baseado em Mem\'oria Principal}
\subsection{Um Algoritmo Baseado em Mem\'oria Externa} \subsection{Um Algoritmo Baseado em Mem\'oria Externa}

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vldb/pt/relatedwork.tex
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@ -32,7 +32,42 @@ fun\c{c}\~oes com complexidade linear.
Al\'em disso, o universo $U$ das chaves \'e restrito a n\'umeros inteiros, o que pode Al\'em disso, o universo $U$ das chaves \'e restrito a n\'umeros inteiros, o que pode
limitar a utiliza\c{c}\~ao na pr\'atica. limitar a utiliza\c{c}\~ao na pr\'atica.
/* Descrever compressao de tabelas */ Pagh~\cite{p99} prop\^os uma fam\'{\i}lia de algoritmos rand\^omicos para construir
\cite{gss01} FHPMs.
A forma da fun\c{c}\~ao resultante \'e $h(k) = (f(k) + d_{g(k)}) \bmod n$,
onde $f$ e $g$ s\~ao fun\c{c}\~oes hash universal \cite{ss89} e $d$ \'e um conjunto de
valores de deslocamento para resolver as colis\~oes que s\~ao causadas pela fun\c{c}\~ao $f$.
Pagh identificou um conjunto de condi\c{c}\~oes referentes a $f$ e $g$, e mostrou
que se tais condi\c{c}\~oes fossem satisfeitas, ent\~ao, uma FHPM pode ser computada
em tempo esperado $O(n)$ e armazenada em $(2+\epsilon)n$ palavras de computador
(ou $O((2+\epsilon)n \log n)$ bits.)
Dietzfelbinger e Hagerup~\cite{dh01} melhoraram ~\cite{p99},
reduzindo de $(2+\epsilon)n$ para $(1+\epsilon)n$ (ou $O((1+\epsilon)n \log n)$ bits)
o n\'umero de palavras de
computador exigidas para armazenar a fun\c{c}\~ao, mas na abordagem deles $f$ e $g$
devem ser escolhidas de uma classe de fun\c{c}\~oes hash que atendam a requisitos
adicionais.
\cite{bkz05} Galli, Seybold e Simon~\cite{gss01} propuseram um algoritmo r\^andomico
que gera FHPMs da mesma forma das geradas pelos algoritmos de Pagh~\cite{p99}
e, Dietzfelbinger e Hagerup~\cite{dh01}. No entanto, eles definiram a forma das
fun\c{c}\~oes $f(k) = h_c(k) \bmod n$ e $g(k) = \lfloor h_c(k)/n \rfloor$ para obter em tempo esperado $O(n)$ uma fun\c{c}\~ao que pode ser descrita em $O(n\log n)$ bits, onde
$h_c(k) = (ck \bmod p) \bmod n^2$, $1 \leq c \leq p-1$ e $p$ um primo maior do que $u$.
Os algoritmos propostos em~\cite{p99,dh01,gss01} n\~ao s\~ao escal\'aveis com o crescimento do
conjunto de chaves $S$. Isto \'e devido as restri\c{c}\~oes impostas sobre as fun\c{c}\~oes
hash universal utilizadas no c\'alculo das FHPMs. Normalmente \'e exigido um
n\'umero primo maior do que o tamanho do universo $u$ que, em geral, \'e muito maior
do que $n=|S|$ ou opera\c{c}\~oes que envolvem $n^2$ aparecem no c\'alculo da FHPM.
Al\'em disso, todas as fun\c{c}\~oes est\~ao distantes a um fator de $\log n$ da complexidade
\'otima para descrever FHPMs.
Diferentemente dos trabalhos em~\cite{p99,dh01,gss01}, nossos algoritmos usam
fun\c{c}\~oes hash universal que s\~ao selecionadas randomicamente de uma classe
de fun\c{c}\~oes que n\~ao necessitam atender restri\c{c}\~oes adicionais.
Al\'em disso, as FHPMs s\~ao geradas em tempo esperado $O(n)$, s\~ao avaliadas
com custo $O(1)$ e s\~ao descritas em $O(n)$ bits que est\'a muito pr\'oximo da
complexidade \'otima.
Pelo melhor do nosso conhecimento, os algoritmos propostos neste artigo s\~ao
os primeiros da literatura capazes de gerar FHPMs para conjuntos de chaves na
ordem de bilh\~oes de chaves utilizando um simples PC com 1GB de mem\'oria principal.