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\section{Trabalhos Relacionados}
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As FHPs e FHPMs receberam muita aten\c{c}\~ao da comunidade
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cient\'{\i}fica nas d\'ecadas de 80 e 90. Em~\cite{chm97} \'e
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apresentado um survey completo da \'area at\'e 1997.
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Nesta se\c{c}\~ao revisitamos os trabalhos cobertos pelo survey que
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est\~ao diretamente relacionados aos algoritmos aqui propostos e
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fazemos um survey dos algoritmos propostos desde ent\~ao.
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Fredman, Koml\'os e Szemer\'edi~\cite{FKS84} mostraram que \'e poss\'{\i}vel construir
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FHPs que podem ser descritas eficientemente em termos de espa\c{c}o e avaliadas em
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tempo constante utilizando tamanhos de tabelas que s\~ao lineares no n\'umero de chaves:
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$m=O(n)$.
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No modelo de computa\c{c}\~ao deles, um elemento do universo~$U$ \'e colocado em uma
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palavra de m\'aquina, e opera\c{c}\~oes aritm\'eticas e acesso \`a mem\'oria tem custo
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$O(1)$.
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Algoritmos rand\^omicos no modelo FKS podem construir FHPs com complexidade de tempo
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experada de $O(n)$:
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Este \'e o caso dos nossos algoritmos e dos trabalhos em~\cite{chm92,p99}.
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Os trabalhos~\cite{asw00,swz00} apresentam algoritmos para construir
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FHPs e FHPMs deterministicamente.
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As fun\c{c}\~oes geradas necessitam de $O(n \log(n) + \log(\log(u)))$ bits para serem descritas.
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A complexidade de caso m\'edio dos algoritmos para gerar as fun\c{c}\~oes \'e
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$O(n\log(n) \log( \log (u)))$ e a de pior caso \'e $O(n^3\log(n) \log(\log(u)))$.
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A complexidade de avalia\c{c}\~ao das fun\c{c}\~oes \'e $O(\log(n) + \log(\log(u)))$.
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Assim, os algoritmos n\~ao geram fun\c{c}\~oes que podem ser avaliadas com complexidade
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de tempo $O(1)$, est\~ao distantes a um fator de $\log n$ da complexidade \'otima para descrever
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FHPs e FHPMs (Mehlhorn mostra em~\cite{m84}
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que para armazenar uma FHP s\~ao necess\'arios no m\'{\i}nimo
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$\Omega(n^2/(2\ln 2) m + \log\log u)$ bits), e n\~ao geram as
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fun\c{c}\~oes com complexidade linear.
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Al\'em disso, o universo $U$ das chaves \'e restrito a n\'umeros inteiros, o que pode
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limitar a utiliza\c{c}\~ao na pr\'atica.
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Pagh~\cite{p99} prop\^os uma fam\'{\i}lia de algoritmos rand\^omicos para construir
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FHPMs.
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A forma da fun\c{c}\~ao resultante \'e $h(k) = (f(k) + d_{g(k)}) \bmod n$,
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onde $f$ e $g$ s\~ao fun\c{c}\~oes hash universal \cite{ss89} e $d$ \'e um conjunto de
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valores de deslocamento para resolver as colis\~oes que s\~ao causadas pela fun\c{c}\~ao $f$.
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Pagh identificou um conjunto de condi\c{c}\~oes referentes a $f$ e $g$, e mostrou
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que se tais condi\c{c}\~oes fossem satisfeitas, ent\~ao, uma FHPM pode ser computada
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em tempo esperado $O(n)$ e armazenada em $(2+\epsilon)n$ palavras de computador
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(ou $O((2+\epsilon)n \log n)$ bits.)
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Dietzfelbinger e Hagerup~\cite{dh01} melhoraram ~\cite{p99},
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reduzindo de $(2+\epsilon)n$ para $(1+\epsilon)n$ (ou $O((1+\epsilon)n \log n)$ bits)
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o n\'umero de palavras de
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computador exigidas para armazenar a fun\c{c}\~ao, mas na abordagem deles $f$ e $g$
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devem ser escolhidas de uma classe de fun\c{c}\~oes hash que atendam a requisitos
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adicionais.
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Galli, Seybold e Simon~\cite{gss01} propuseram um algoritmo r\^andomico
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que gera FHPMs da mesma forma das geradas pelos algoritmos de Pagh~\cite{p99}
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e, Dietzfelbinger e Hagerup~\cite{dh01}. No entanto, eles definiram a forma das
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fun\c{c}\~oes $f(k) = h_c(k) \bmod n$ e $g(k) = \lfloor h_c(k)/n \rfloor$ para obter em tempo esperado $O(n)$ uma fun\c{c}\~ao que pode ser descrita em $O(n\log n)$ bits, onde
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$h_c(k) = (ck \bmod p) \bmod n^2$, $1 \leq c \leq p-1$ e $p$ um primo maior do que $u$.
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Os algoritmos propostos em~\cite{p99,dh01,gss01} n\~ao s\~ao escal\'aveis com o crescimento do
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conjunto de chaves $S$. Isto \'e devido as restri\c{c}\~oes impostas sobre as fun\c{c}\~oes
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hash universal utilizadas no c\'alculo das FHPMs. Normalmente \'e exigido um
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n\'umero primo maior do que o tamanho do universo $u$ que, em geral, \'e muito maior
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do que $n=|S|$ ou opera\c{c}\~oes envolvendo $n^2$ aparecem no c\'alculo da FHPM.
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Al\'em disso, todas as fun\c{c}\~oes est\~ao distantes a um fator de $\log n$ da complexidade
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\'otima para descrever FHPMs.
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Diferentemente dos trabalhos em~\cite{p99,dh01,gss01}, nossos algoritmos usam
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fun\c{c}\~oes hash universal que s\~ao selecionadas randomicamente de uma classe
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de fun\c{c}\~oes que n\~ao necessitam atender restri\c{c}\~oes adicionais.
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Al\'em disso, as FHPMs s\~ao geradas em tempo esperado $O(n)$, s\~ao avaliadas
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com custo $O(1)$ e s\~ao descritas em $O(n)$ bits que est\'a muito pr\'oximo da
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complexidade \'otima.
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Pelo melhor do nosso conhecimento, os algoritmos propostos neste artigo s\~ao
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os primeiros da literatura capazes de gerar FHPMs para conjuntos de chaves na
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ordem de bilh\~oes de chaves utilizando um simples PC com 1GB de mem\'oria principal. |