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TeX
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\section{Introdu\c{c}\~ao}
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\label{sec:introduction}
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Fun\c{c}\~oes hash s\~ao amplamente utilizadas em v\'arias \'areas da
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Ci\^encia da Computa\c{c}\~ao.
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Uma \textit{fun\c{c}\~ao hash} $h: U \to M$ mapeia chaves de um universo $U$, $|U|=u$,
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para um dado intervalo de inteiros $M=[0,m-1]=\{0,1,\dots,m-1\}$.
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Seja~$S\subseteq U$ um subconjunto de $n$ chaves do universo $U$.
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Dado uma chave~$k\in S$, uma fun\c{c}\~ao hash $h$ computa um inteiro em
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$M$ para armazenamento ou recupera\c{c}\~ao de $k$ em uma \textit{tabela hash}.
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Neste artigo consideramos que as chaves s\~ao strings de bits de comprimento
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m\'aximo $L$. Portanto $u = 2^L$.
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M\'etodos de hashing para {\em conjuntos n\~ao est\'aticos} de chaves podem ser usados para
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construir estruturas de dados para armazenar $S$ e suportar consultas do tipo
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``$k \in S$?'' em tempo esperado $O(1)$.
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No entanto, eles envolvem um certo desperd\'{\i}cio de espa\c{c}o e tempo devido
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a localiza\c{c}\~oes inutilizadas na tabela e tempo para resolver colis\~oes quando duas
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chaves s\~ao mapeadas para a mesma localiza\c{c}\~ao na tabela.
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For {\em static sets} of keys it is possible to compute a function
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to find any key in a table in one probe; such hash functions are called
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\textit{perfect}.
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Given a set of keys~$S$, we shall say that a hash function~$h:U\to M$ is a
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\textit{perfect hash function} for~$S$ if~$h$ is an injection on~$S$,
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that is, there are no \textit{collisions} among the keys in~$S$: if~$x$
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and~$y$ are in~$S$ and~$x\neq y$, then~$h(x)\neq h(y)$.
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Figure~\ref{fig:minimalperfecthash-ph-mph}(a) illustrates a perfect hash
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function.
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Since no collisions occur, each key can be retrieved from the table
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with a single probe.
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If~$m=n$, that is, the table has the same size as~$S$,
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then~$h$ is a \textit{minimal perfect hash function} for~$S$.
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Figure~\ref{fig:minimalperfecthash-ph-mph}(b) illustrates
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a~minimal perfect hash function.
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Minimal perfect hash functions totally avoid the problem of wasted
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space and time.
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% For two-column wide figures use
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\begin{figure}
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% Use the relevant command to insert your figure file.
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% For example, with the graphicx package use
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\centering
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\includegraphics[width=0.45\textwidth, height=0.3\textheight]{figs/minimalperfecthash-ph-mph.ps}
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% figure caption is below the figure
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\caption{(a) Perfect hash function\quad (b) Minimal perfect hash function}
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\label{fig:minimalperfecthash-ph-mph}
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\end{figure}
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A efici\^encia dos algoritmos ser\'a medida atrav\'es das seguintes m\'etricas:
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\begin{enumerate}
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\item Quantidade de tempo gasto para encontrar uma fun\c{c}\~ao hash perfeita m\'{\i}nima $h$.
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\item Quantidade de tempo necess\'ario para avaliar ou computar $h$.
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\item Quantidade de mem\'oria exigida para armazenar a descri\c{c}\~ao da fun\c{c}\~ao $h$.
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\item Quantidade de mem\'oria exigida para encontrar $h$.
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\item Escalabilidade dos algoritmos a medida que o conjunto de chaves cresce.
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\end{enumerate}
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